中国籍的未婚妈妈可以向孩子的澳洲籍的爸爸索取孩子的抚养费吗？

我是个中国人，是个未婚妈妈，孩子4岁多了。孩子的爸爸是个澳洲人。现在我已经联系不上孩子的爸爸，当然，他也没有给孩子的抚养费。我不是个贪慕虚荣的人，当初把小孩生下来，不是图什么，只是自己年轻，没考虑清楚，就把小孩生下来了。现在我一个人打两份工，也勉强可以维持生活。本来也可以不去打扰孩子的爸爸的。只是中国的计划生育管得很严，加上我不是XX市的正式户口，只是集体户口，无法给孩子落户，我自己必须要买房才可以拿到XX市的正式户口，但是中国现处于高房价年代，一套房子至少要四五十万，我连首期都付不起。小孩还有两年就要上小学了，还没有户口，我真的不知道如何是好。 所以想请问一下，我是否可以通过法律途径向孩子的爸爸索取抚养费呢？我知道，我和孩子他爸之间没有任何书面的协议，而且，如果他不同意，我是无法强迫他去做DNA的，希望真的很渺茫。但是总得试一下，希望有好心人可以帮帮我，非常感谢！